• 0 głosów - średnia: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Systemy liczbowe: system binarny.
#1
Systemy liczbowe

SYSTEM BINARNY



Wstęp

System Binarny to system liczbowy składający się z 2 cyfr - 0 i 1. Jest on prosty do zrozumienia oraz zastosowania przez urządzenia i systemy komputerowe, gdyż składa się tylko z dwóch warunków, 0 czyli fałszu oraz 1 czyli prawdy - czyli stanów wyłączenia oraz włączenia urządzenia. Jest również doskonały do pracy z funktorami logicznymi. Posiada on jednak parę istotnych wad, między innymi brak możliwości zapisu liczb ujemnych. występowanie przepełnienia oraz niedopełnienia zbioru (tak zwany stack overflow oraz stack underflow) oraz stosunkowo dużej ilości cyfr potrzebnej do zapisu stosunkowo małej liczby (w porównaniu do systemu dziesiętnego).

Konwersja w systemie binarnym

W systemie binarnym aby sprowadzić liczbę dziesiętną do postaci binarnej, należy dokonać dzielenia przez 2. W tym przypadku liczbą dziesiętną będzie liczba 8. Dzielimy kolejne liczby przez 2, ustalając czy reszta jest równa 0 czy 1. Po wykonaniu ostatniego dzielenia, czyli podzielenia cyfry 1 przez 2 zapisujemy liczbę która nam powstała, pisząc od dołu do góry powstałe 1 oraz 0. Powstaje nam następująca liczba czyli: 1000.
 
[Obrazek: BinarkaKonwersja.png]

Aby dokonać konwersji liczby binarnej na dziesiętną należy pomnożyć kolejne 1 i 0 przez kolejne potęgi dwójki (zaczynając od potęgi zerowej), zaczynając od rzędu jedności (od prawej strony), a kolejne cyfry liczby binarnej dodać ze sobą po pomnożeniu.
1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20  =  1 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 0 * 1 = 8
Żeby rozpoznać parzystość lub nieparzystość liczby wystarczy sprawdzić cyfrę liczby binarnej w rzędzie jedności, jeśli będzie wynosiła ona 0 to liczba jest parzysta, jeśli 1 to liczba jest nieparzysta.

Działania na liczbach binarnych

Działania na liczbach binarnych odbywają się na zasadach podobnych co pisemne operacje na liczbach dziesiętnych, jednak występują pewne niuanse, jak nadmiar oraz niedomiar, występujący ze względu na charakterystykę systemu binarnego, brak możliwości zapisu liczb ujemnych oraz jednostkę przechowywania danych systemu binarnego czyli bajty.

Dodawanie:

Dodawanie binarne jest oparte na czterech zależnościach których zbiór nazywamy tabliczką dodawania.

[Obrazek: Przechwytywanie.png]
 
przeniesienie nadmiaru w lewo.
.
.
Dodawanie zwykle przeprowadzamy pisemnie, jednakże część prostych liczb możemy dodać w pamięci. W poniższym przykładzie dokonujemy dodawania trzech liczb, 11D, 5D oraz 15D i otrzymujemy wynik równy 31D. Kolorem zielonym są zaznaczone cyfry przeniesione a na zielonym tle są cyfry w których występuje zależność 1 + 1.

[Obrazek: image002-1.png]

Odejmowanie

Odejmowanie binarne jest również oparte na zależnościach, przedstawionych podobnie jak w tabliczce dodawania.

[Obrazek: Przechwytywanie1.png]
 
oraz pożyczka z lewej strony.
 
Odejmowanie również przeprowadzamy pisemnie. W poniższym przykładzie dokonamy odejmowania dwóch liczb, 15D od 19D. Otrzymujemy wynik równy 4D. Kolorem czerwonym są zaznaczone cyfry na których dokonano pożyczki oraz które powstały w wyniku pożyczki.

[Obrazek: image003-3.png]

Mnożenie

Jak w wypadku wcześniejszych działań na liczbach binarnych, również tutaj posiadamy tabliczkę mnożenia.

[Obrazek: Przechwytywanie2.png]

W poniższym przykładzie mnożymy liczbę 10D, 4D oraz 6D. Ponieważ mnożymy trzy liczby, musimy najpierw wykonać mnożenie jednej liczby przez drugą, a potem dopiero wykonać mnożenie trzeciej liczby. Kolorem zielonym są zaznaczone cyfry pierwszego mnożenia, dlatego też dodawanie tych liczb (jako element mnożenia pisemnego) jest wcześniej niż mnożenie, gdyż mnożymy sumę tych liczb.

[Obrazek: Bez-tytułu.png]

Mnożymy 10D * 4D.
 
Sumujemy wynik mnożenia binarnego 10D * 4D.
Przepisujemy liczbę 6D.
Mnożymy 40D oraz 6D.
 
Sumujemy wynik mnożenia binarnego 40D * 6D.
.
.
Wynikiem mnożenia jest 240D. Warto pamiętać w wypadku większej ilości liczb w działaniu o mnożeniu liczb po kolei, by nie popełnić błędu.
Drugą metodą może być konwersja liczb binarnych na liczby dziesiętne, mnożenie w systemie dziesiętnym oraz ponowna konwersja wyniku na liczbę binarną. Wybór metody zależy od ilości członów mnożenia binarnego, aczkolwiek najczęściej się spotkamy z mnożeniem dwóch liczb binarnych.

Dzielenie

Dzielenie binarne jest podobne do dzielenia pisemnego liczb dziesiętnych. W poniższym przykładu podzielimy liczbę 60D przez 7D. Będziemy działać na liczbach wymiernych. Reszta z dzielenia wynosi 4D.

[Obrazek: image005-2.png]

Wynik dzielenia.
Dzielenie 60D przez 7D.
 
 
W kolejnym przykładzie podzielimy 125D przez 4D. Wynikiem jest 31D  z resztą 1D.

[Obrazek: image006.png]

W wypadku dzielenia większej ilości liczb przez siebie każde dzielenie wykonujemy pisemnie osobno bądź dokonujemy konwersji z liczb binarnych na dziesiętne, dzielenie w systemie dziesiętnym oraz konwersję wyniku na liczbę binarną.
  Odpowiedz


Skocz do:


Użytkownicy przeglądający ten wątek: 1 gości